本书是整合计算机专业以及计算机相关专业必备数学基础知识的教材。全书共分7篇17章，内容包括：数学与计算机数学、数学基础、微积分、代数、空间解析几何与图论、数理逻辑、概率论与数理统计等基础数学分支。本书编写贯彻少而精、重基础、重实践的原则，内容分布均匀，重点突出，选材重在基础和必备知识点，按数学自身规律有机组织知识内容，教材体系完整统一。本书针对应用型计算机专业以及计算机相关专业的学生编写，适合应用型普通高校及高职高专院校计算机专业及其相关专业学生教学使用，也可用做IT行业从业人员提高数学基础知识的读本或专业培训教材。

        数学乃计算机科学与技术之基础，涉及众多数学分支。鉴于应用型本科高校和高职高专院校的计算机基础教学，涉及的数学分支与内容深度与广度比较有限。计算机数学是整合计算机基础教学与相关数学知识设计的一门新兴课程。



        本教材主要有如下特点：

        1．内容分布均匀、重点突出。教材内容涉及高等数学、离散数学、代数、解析几何及概率统计等多个方面；同时坚持少而精的原则，选用最具基础性、代表性的内容。



        2．按数学自身规律组织内容。数学是一个完整、统一的整体，为研究与教学方便才将它们分成若干门课程讲授，在计算机数学中又可以将其恢复成原始面貌合并成一个整体。因此必须按其自身规律组织内容，使原有多门课程的“混合物”成为有机、统一的“化合物”，从而形成适应计算机学科教学所必需的基本数学知识体系。



        3．课程目标明确。本教材是一门基础性数学课程，其主要目标是使学生掌握数学的基本概念，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力以及数学方法运用能力，同时为后续课程提供知识支持。



        4．注重实践。学以致用，举一反三，是教学和学习的最终目的。本教材并不追求烦琐的理论知识，而强调数学的应用性与实践性；有丰富的例题，便于学生练习和扩展。本教材并不直接与计算机相关内容结合，这也不是本课程的目标内容；课程的应用性主要体现在通过相关能力培养，特别是数学建模能力的培养。



        本教材是针对应用型本科高校和高职高专院校计算机应用技术性专业及计算机相关专业而编写；考虑到教学学时和专业层次的需要，选择最具基础性的数学知识为主要内容。本课程的预修课程为初等数学，主要是初等代数、几何、平面解析几何以及三角学等内容。一般中学毕业生均已修读过此类课程，因此，本课程能与其无缝对接。



        本教材共7篇17章：第1篇是数学与计算机数学，包括第1章绪论，介绍数学与计算机数学的相关理念，为了解本教材提供宏观性指导。第2篇是数学基础，包括第2、3章。第2章集合与关系、第3章函数与运算，它们建立整个数学的基础。第3篇是微积分，包括第4、5、6、7、8章。第4章极限与连续、第5章导数与微分、第6章不定积分、第7章定积分和第8章无穷级数，它们构成连续数学的基本部分。第4篇是代数，包括第9、10、11章。第9章行列式矩阵与向量、第10章线性方程组、第11章抽象代数，它们是初等代数的提高与延伸。第5篇是空间解析几何与图论，包括第12、13章。第12章空间解析几何、第13章图论，它们是用代数的解析方法研究几何与图的典范。第6篇是数理逻辑，包括第14、15章。第14章命题逻辑、第15章谓词逻辑，它们主要讨论推理理论及形式系统的建立。第7篇是概率论与数理统计，包括第16、17章。第16章概率论基础、第17章数理统计基础，它们建立不确定随机事件的数学理论。



        本教材学时数以128学时为宜，可分两学期教学。建议第一学期内容为第1篇到第3篇，第二学期内容为第4篇到第7篇。本书由徐进鸿、史九林和徐洁磐3人共同策划、合作编写；最后由史九林负责全书统稿工作。

        

        本书由南京航空航天大学林钧海教授审稿，并提出了许多宝贵意见，作者表示衷心感谢。



        计算机数学课程是一门新兴课程，尚在尝试过程中。由于作者们经验不足、水平有限，文中疏漏之处在所难免。敬请使用本书的教师与读者提出宝贵意见，以便进一步修改完善，以利计算机数学课程的发展。



编者2011年12月于南京

第1篇数学与计算机数学

第1章绪论2

1?1数学2

1?1?1什么是数学2

1?1?2数学的发展历史与实践3

1?1?3数学的主要特性4

1?2计算机数学5

1?2?1计算机数学的产生5

1?2?2计算机数学的构建6

1?2.3计算机数学内容的规范和组织7

1?3计算机数学的教学和学习8

1?3?1计算机数学的教学8

1?3?2计算机数学的学习8

1?3?3计算机数学教材8

1?4小结9

习题19

第2篇数学基础

第2章集合与关系12

2?1集合基础12

2?1?1集合的基本概念12

2?1?2集合的表示方法13

2?1?3集合间的关系13

2?1?4集合的基本性质15

2?1?5集合运算15

2?1?6集合的扩充运算——笛卡儿乘17

2?2关系18

2?2?1关系的基本概念18

2?2?2关系的表示19

2?2?3关系运算20

2?2?4n元关系21

2?3小结22

习题222

第3章函数与运算24

3?1函数的基本概念24

3?1?1函数的定义24

3?1?2函数的表示24

3?1?3函数的分类25

3?2函数运算26

3?2?1函数的复合运算26

3?2?2函数的逆运算27

3?3实函数讨论28

3?3?1实函数的定义28

3?3?2实函数的表示28

3?3?3实函数的几个主要性质29

3?4初等函数29

3?5多元函数30

3?6运算与代数系统31

3?6?1运算31

3?6?2代数系统31

3?7有限集与无限集32

3?8小结33

习题333

目录计算机数学基础教程第3篇微积分

第4章极限与连续36

4?1极限的概念36

4?1?1数列的极限36

4?1?2函数的极限39

4?1?3函数极限的性质43

4?1?4函数极限的运算法则43

4?1?5判别极限存在的两个准则44

4?1?6两个重要极限45

4?2无穷大量与无穷小量48

4?2?1无穷大量与无穷小量的概念48

4?2?2两个无穷小量的比较50

4?2?3关于等价无穷小（大）量的重要性质52

4?3函数的连续性及其性质52

4?3?1函数的增量53

4?3?2函数的连续性53

4?3?3函数的间断点56

4?3?4连续函数的有关定理57

4?3?5闭区间上连续函数的性质58

4?4小结60

习题460

第5章导数与微分64

5?1导数的概念64

5?1?1导数的定义64

5?1?2左导数与右导数65

5?1?3函数可导与连续的关系66

5?1?4导数的几何意义67

5?2函数的求导法则67

5?2?1基本初等函数的导数68

5?2?2导数的四则运算法则69

5?2?3复合函数的求导法则70

5?2?4反函数的导数72

5?2?5隐函数的导数73

5?2?6取对数求导法74

5?2?7导数公式75

5?3高阶导数75

5?4函数的微分76

5?4?1微分的概念76

5?4?2函数可微的条件77

5?4?3微分的几何意义77

5?4?4基本初等函数的微分与微分法则（微分表）78

5?4?5微分形式的不变性78

5?4?6微分的应用79

5?5中值定理80

5?5?1罗尔定理80

5?5?2拉格朗日中值定理81

5?6求极限的洛必达法则82

5?6?100型和∞∞型未定式82

5?6?2其他类型的未定式85

5?7函数的单调性和极值86

5?7?1函数的单调性86

5?7?2函数的极值88

5?7?3函数的最大值和最小值90

5?8函数曲线的凹向与拐点92

5?9函数作图94

5?10求函数方程的根的数值方法94

5?10?1区间分半法95

5?10?2牛顿法96

5?11小结97

习题598

第6章不定积分102

6?1不定积分的概念及其性质102

6?1?1原函数与不定积分的概念102

6?1?2积分与微分(导数)的互逆运算性质103

6?1?3基本积分公式104

6?1?4不定积分的几何意义105

6?2不定积分的基本运算法则105

6?2?1直接积分法105

6?2?2拆项积分法106

6?3不定积分的换元法107

6?3?1第一换元法(凑微分法)107

6?3?2第二换元法111

6?4分部积分法114

6?5小结117

习题6117

第7章定积分120

7?1定积分的概念与性质120

7?1?1定积分的定义121

7?1?2定积分的性质122

7?2微积分学基本定理123

7?2?1定积分与不定积分的关系123

7?2?2牛顿—莱布尼茨公式124

7?3定积分的计算方法125

7?3?1直接积分法125

7?3?2换元积分法126

7?3?3分部积分法128

7?4计算定积分的数值方法130

7?4?1梯形公式130

7?4?2辛普森公式130

7?4?3复合求积公式131

7?5无穷区间上的广义积分133

7?6定积分的应用135

7?6?1平面图形的面积135

7?6?2旋转体的体积137

7?7小结138

习题7138

第8章无穷级数141

8?1常数项级数141

8?1?1常数项级数的基本概念141

8?1?2收敛级数的基本性质142

8?2常数项级数的收敛判别法143

8?2?1正项级数及其敛散性判别法143

8?2?2任意项级数145

8?3幂级数147

8?3?1幂级数的收敛半径和收敛区间147

8?3?2幂级数的代数运算与分析运算性质150

8?4函数的幂级数展开式151

8?4?1函数的泰勒级数展开151

8?4?2几个重要初等函数的幂级数展开式152

8?5小结153

习题8154

第4篇代数

第9章行列式、矩阵与向量158

9?1行列式158

9?1?1行列式的定义158

9?1?2行列式的性质163

9?1?3行列式的计算164

9?2矩阵166

9?2?1矩阵的概念166

9?2?2矩阵运算168

9?2?3几种特殊矩阵171

9?3矩阵的初等变换与矩阵的秩172

9?3?1矩阵的初等变换172

9?3?2矩阵的秩173

9?4矩阵的逆174

9?4?1可逆矩阵174

9?4?2用初等变换求逆矩阵175

9?5n维向量空间176

9?6小结 178

习题9179

第10章线性方程组182

10?1线性方程组的定义182

10?2求解线性方程组的消元法183

10?2?1一般消元法183

10?2?2主元素消元法185

10?3线性方程组解的判定与解的结构186

10?3?1线性方程组解的分析186

10?3?2线性方程组解的判定187

10?3?3线性方程组解的结构190

10?4求解线性方程组的迭代法193

10?4?1向量的范数和矩阵的范数193

10?4?2迭代法及其收敛性194

10?4?3雅可比迭代法196

10?4?4高斯—塞德尔迭代法197

10?5小结198

习题10199

第11章抽象代数201

11?1抽象代数中的运算性质201

11?2三种典型的系统203

11?3小结203

习题11203

第5篇空间解析几何与图论

第12章空间解析几何206

12?1空间直角坐标系206

12?1?1空间点的直角坐标206

12?1?2空间两点间的距离207

12?2空间向量208

12?2?1向量的代数运算208

12?2?2向量的分量与投影209

12?2?3向量的模和方向余弦211

12?2?4向量的乘积211

12?3平面方程214

12?3?1平面的一般式方程214

12?3?2两平面的位置关系215

12?3?3点到平面的距离216

12?4直线方程217

12?4?1直线的一般式方程217

12?4?2直线的标准式方程217

12?4?3直线与直线、直线与平面的位置关系218

12?5空间曲面与空间曲线219

12?5?1简单空间曲面219

12?5?2几种常见的二次曲面220

12?5?3空间曲线的一般式方程221

12?6小结221

习题12221

第13章图论223

13?1图论原理223

13?1?1图的基本概念223

13?1?2通路、回路与连通图226

13?1?3欧拉图229

13?1?4图的矩阵表示法230

13?2树235

13?2?1树的基本性质235

13?2?2有向树236

13?2?3二元树238

13?2?4生成树239

13?3小结241

习题13241

第6篇数理逻辑

第14章命题逻辑244

14?1命题244

14?2命题联结词245

14?3命题公式247

14?4命题公式的真值表与重言式248

14?5命题逻辑的基本等式与基本蕴含重言式250

14?6命题逻辑的推理252

14?7小结255

习题14255

第15章谓词逻辑256

15?1谓词逻辑的三个基本概念256

15?2谓词公式259

15?3谓词逻辑的永真公式260

15?4谓词逻辑的推理262

15?5小结264

习题15264

第7篇概率论与数理统计

第16章概率论基础268

16?1基础概率268

16?1?1随机事件及其概率268

16?1?2古典概型270

16?1?3全概公式与逆概公式274

16?2随机变量的分布与数字特征275

16?2?1随机变量的分布276

16?2?2随机变量的数字特征282

16?3小结287

习题16289

第17章数据统计基础291

17?1数理统计基础知识291

17?1?1总体、样本、统计量291

17?1?2常用统计量分布292

17?2样本数据的初步统计分析293

17?2?1制作频率直方图和累积频率图293

17?2?2参数估计294

17?3方差分析295

17?4回归分析297

17?5小结298

习题17298

参考文献300