本书是为报考数学类专业硕士研究生的本科学生编写的。全书按专题选讲的形式编写，包括极限、一元函数的连续性、一元函数微分学、一元函数积分学、无穷级数、多元函数微分学、广义积分与含参量积分、多元函数积分学八章。每章配有一定量的典型练习题，其中的例题、习题大都精选自部分高校硕士研究生入学考试的试题或由平时教学积累、相关资料整理所得，具有与硕士生入学考试大致相当的难度。同时也介绍了数学分析教材中比较少见但又非常重要的一些定理和结论。
    本书由浅入深、重点突出，对提高读者数学分析的水平和能力都有很大的帮助，可作为数学专业学生的选修课教材和考研参考书。

前言

    党的二十大报告指出:“教育是国之大计、党之大计。培养什么人、怎样培养人、为谁培养人是教育的根本问题。育人的根本在于立德。全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。”在大数据背景下，良好的数学素养已成为各行各业创新人才的必备条件之一。《数学分析》作为数学类各专业的一门基础主干课程，是创新性应用型人才培养的核心课程。同时，由于它在内容上的极度丰富性，要想仅通过一本教程就尽得其精华，往往是难以实现的。因此，学完数学分析课程后的很多人，特别是准备报考硕士研究生的人，都还要进行一次甚至数次的再学习。
    经过多年的教学实践，结合地方本科院校学生实际，编者编写了本书，希望学生通过学习抓住数学分析的重点，掌握解题的思路、方法和技巧，锻炼数学思维能力，提高应用和应试能力。
    本书具有以下特点:
    (1)结构严谨、内容充实。在结构上，基本遵遁一般数学分析教科书的顺序，把数学分析的内容和解题方法做了高度的概括;在内容上，着眼于基本理论和基本解题方法与技巧的介绍，重点突出、概括性强、详略分明，便于掌握和应用。例题包括各种类型的题目，由浅
入深，不重复、无遗漏，综合性强。
    (2)思路清晰、真题测试。在例题的解答中，解题规范，详略得当，在适当的地方对问题的类型、解题思路和方法进行了归纳总结。通过例题的选解，可以起到举一反三、触类旁通的作用;书末附有十余套考研真题，以便于读者进行自测。
    (3)思维导图、思政融入。根据教学内容，每章绘制了思维导图，脉络清晰，层次分明;挖掘课程思政元素，融入教材内容，落实立德树人根本任务。
    本书主要由德州学院数学与大数据学院多名多年奋斗在教学一线的教师联合编写。由刘艳芹、董立华任主编，王子华、尹秀玲、闫立梅、沈延锋任副主编，王凯欣、张强恒(菏泽学院)、张凤丽(菏泽学院)，刘泽婷(北京体育大学)参与编写。另外青软创新科技集团股份
有限公司及浪潮软件股份有限公司对本书的编写也提供了帮助和支持，谨在此一并致谢!
    本书的出版，得到山东省本科教学改革课题和德州学院教材出版基金的资助。
    本书的编写难免有疏漏与不妥之处，敬请有关专家、学者及读者提出宝贵的意见和建议，以待今后进一步修订和改正。

编者
2022年11月

目录

第1章 极限 …………………………………………………………………………………1
一、基本概念………………………………………………………………………………2
二、基本结论和方法…………………………………………………………………… 2
三、例题选讲………………………………………………………………………………4
四、练习题…………………………………………………………………………………12

第2章 一元函数的连续性 ……………………………………………………………14
一、基本概念……………………………………………………………………………14
二、基本结论和方法 …………………………………………………………………15
三、例题选讲 ……………………………………………………………………………15
四、练习题 ………………………………………………………………………………19

第3章 一元函数微分学 …………………………………………………………………21
一、基本概念 ………………………………………………………………………………21
二、基本结论和方法 ……………………………………………………………………22
三、例题选讲 ………………………………………………………………………………24
四、练习题 …………………………………………………………………………………31

第4章 一元函数积分学 …………………………………………………………………34
4.1 不定积分 ………………………………………………………………………………34
一、基本概念 …………………………………………………………………………… 34
二、基本结论和方法 ……………………………………………………………………34
三、例题选讲 …………………………………………………………………………… 35
四、练习题 ……………………………………………………………………………… 39
4.2 定积分 …………………………………………………………………………………40
一、基本概念 …………………………………………………………………………… 40
二、基本结论和方法 ……………………………………………………………………40
三、例题选讲 ……………………………………………………………………………42
四、练习题 ………………………………………………………………………………46
4.3 定积分的性质及其应用 …………………………………………………………47
一、基本概念 ……………………………………………………………………………47
二、基本结论和方法 ……………………………………………………………………48
三、例题选讲 …………………………………………………………………………… 49
四、练习题 ……………………………………………………………………………… 55

第5章 无穷级数 …………………………………………………………………………57
5.1 数项级数 ………………………………………………………………………………57
一、基本概念 …………………………………………………………………………… 57
二、基本结论和方法 ……………………………………………………………………58
三、例题选讲 …………………………………………………………………………… 59
四、练习题 ……………………………………………………………………………… 65
5.2 函数列与函数项级数 ………………………………………………………………67
一、基本概念 …………………………………………………………………………… 67
二、基本结论和方法 ……………………………………………………………………68
三、例题选讲 …………………………………………………………………………… 70
四、练习题 ……………………………………………………………………………… 82
5.3 幂级数 …………………………………………………………………………………84
一、基本概念 …………………………………………………………………………… 84
二、基本结论和方法 ……………………………………………………………………85
三、例题选讲 …………………………………………………………………………… 87
四、练习题 ……………………………………………………………………………… 93
5.4 傅里叶级数 ……………………………………………………………………………94
一、基本概念 …………………………………………………………………………… 94
二、基本结论和方法 …………………………………………………………………… 95
三、例题选讲 …………………………………………………………………………… 97
四、练习题……………………………………………………………………………… 101

第6章 多元函数微分学…………………………………………………………………103
6.1 多元函数的极限与连续性………………………………………………………103
一、基本概念…………………………………………………………………………… 103
二、基本结论和方法……………………………………………………………………104
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 104
四、练习题……………………………………………………………………………… 107
6.2 偏导数与全微分……………………………………………………………………108
一、基本概念…………………………………………………………………………… 108
二、基本结论和方法……………………………………………………………………110
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 112
四、练习题……………………………………………………………………………… 119
6.3 多元函数的极值和最值……………………………………………………………120
一、基本概念…………………………………………………………………………… 120
二、基本结论和方法……………………………………………………………………122
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 123
四、练习题……………………………………………………………………………… 130

第7章 广义积分与含参量积分 ………………………………………………………132
7.1 广义积分……………………………………………………………………………… 132
一、基本概念…………………………………………………………………………… 132
二、基本结论和方法……………………………………………………………………134
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 136
四、练习题……………………………………………………………………………… 139
7.2 含参量积分……………………………………………………………………………140
一、基本概念…………………………………………………………………………… 140
二、基本结论和方法……………………………………………………………………140
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 143
四、练习题……………………………………………………………………………… 147

第8章 多元函数积分学…………………………………………………………………149
8.1 二重积分………………………………………………………………………………149
一、基本概念…………………………………………………………………………… 149
二、基本结论和方法……………………………………………………………………150
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 151
四、练习题……………………………………………………………………………… 154
8.2 三重积分………………………………………………………………………………156
一、基本概念…………………………………………………………………………… 156
二、基本结论和方法……………………………………………………………………156
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 157
四、练习题……………………………………………………………………………… 160
8.3 曲线积分………………………………………………………………………………161
一、基本概念…………………………………………………………………………… 162
二、基本结论和方法……………………………………………………………………162
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 163
四、练习题……………………………………………………………………………… 167
8.4 曲面积分………………………………………………………………………………169
一、基本概念…………………………………………………………………………… 169
二、基本结论和方法……………………………………………………………………169
三、例题选讲…………………………………………………………………………… 170
四、练习题……………………………………………………………………………… 176
附 录 …………………………………………………………………………………………178

刘艳芹，德州学院数学与大数据学院院长，博士研究生，教授，专业方向为分数阶微积分。学习及教学经历：
2001.9-2003.7 曲阜师范大学（本科）
2003.9-2006.7 山东大学 （硕士）
2006.8--至今 德州学院（工作)
2008.9-2011.7 天津大学 （博士）
2017.1-2017.12 澳大利亚 昆士兰科技大学 （访问学者）
出版教材情况：《数值分析》，天津教育出版社，2015.7，参编

本书每章均配有练习题，其中例题、习题大都精选自部分高校硕士研究生入学考试的试题或相关资料整理所得，书中内容由浅入深，重点突出，可使学生掌握解题的思路、方法和技巧，锻炼数学思维能力，提高应用和应试能力。