本书根据教育部高等院校普通本科专业线性代数课程教学大纲并结合作者十余年的课程建设和教学经验,同时参考研究生入学考试线性代数部分的考研大纲编写而成。本书论述了线性代数的基本概念、基本理论和基本方法,包括线性方程组与矩阵、行列式、向量与向量空间、线性方程组的解、特征值和二次型。考虑到在本科阶段有少数学生学习矩阵论,本书增加了线性代数的应用、最小二乘法、奇异值分解、线性赋范空间和内积空间等内容。本书章节的安排力求符合学生的认知,着重线性方程组、线性空间及相关知识的应用,书中例题和习题丰富且具有代表性。

本书适合作为普通高等院校线性代数课程的教材,也可作为研究生入学考试的参考书。

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教育是国之大计、党之大计。党的二十大报告要求:“坚持以人民为中心发展教育,加快建设高质量教育体系,发展素质教育,促进教育公平。”为贯彻党的二十大精神、落实立德树人根本任务,本书根据教育部制定的高等院校普通本科专业线性代数课程教学大纲,从应用型本科院校的教学实际出发,并结合作者十余年的课程建设和教学经验,同时参考研究生入学考试线性代数部分的考研大纲编写而成。本书论述了线性代数的基本概念、基本理论和基本方法,包括矩阵、线性方程组、行列式、向量及向量空间、特征值和二次型,旨在培养学生严密的数学推理能力,为其学习后续课程打下必要的代数基础。本书适合作为普通高等院校本科生线性代数课程的教材,也可作为研究生入学考试的参考书。

与传统线性代数教材相比,本书适当调整了章节顺序,力求符合学生的认知;着重论述线性方程组、线性空间及相关知识的应用;书中例题和习题丰富且具有代表性,力求达到习近平总书记指出的“全面提高人才自主培养质量,着力造就拔尖创新人才”的长远规划。本书共分为七章,其中不带*的内容为本科生必修内容,大约需要48学时。与高等数学相比,线性代数要抽象得多。高等数学的很多内容可以画出图形图像使学生一目了然,但线性代数的内容是在高维空间中,只能靠学生抽象想象。本书尽量利用大量实例以避免讲授枯燥抽象。本书以学生熟知的线性方程组出发,引出矩阵,并由解线性方程组的消元法引出矩阵的初等变换。再由矩阵引出行列式,讨论行列式的性质以及行列式与矩阵的关系。之所以这样处理,是因为这个顺序更符合学生的认知。国际数学教育委员会前主席、数学家弗赖登塔尔有一句名言:“没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子公开发表。一个问题被解决后,相应地发展为一种形式化的技巧,结果把求解的过程丢在一边,使得火热的发明变成了冰冷的美丽。”本书内容的安排,力求在介绍“冰冷的美丽”的同时还原发现知识时“火热的思考”,使学生“知其然”也“知其所以然”。

考虑到在本科阶段有少数学生学习矩阵论,特别是关于矩阵和向量的范数、收敛以及线性赋范空间和内积空间等内容,但这些内容是大多数后续数学课程和工科专业的专业课程的基础,学生在后续学习中跨度很大。因此,本书增加了下列内容,在章节目录中用*标出,供授课老师参考。

(1)线性变换及其在计算机图形学中的应用;

(2)线性方程组解的稳定性问题;

(3)最小二乘法(含最佳逼近和正交投影);

(4)奇异值分解;

(5)线性赋范空间和内积空间。

这些内容大约需要16学时,授课教师可根据学生所学专业适当选讲。

本书由中国石油大学(北京)高阳、崔学慧、孟得新、王培编著。具体编写分工如下:第

1章和第2章由王培撰写,第3章和第4章由孟得新撰写,第5章和第6章由高阳撰写,第7章由崔学慧撰写,高阳对全书内容进行统稿。参加本书审稿的是中国石油大学(北京)数学系线性代数团队教师,他们认真审阅了原稿,并提出了不少改进意见,在此表示衷心感谢。此外,周林宇、吕任之、王惠茹、马瑞昕、卢欣怡、车尼诺等研究生帮助校订了书稿,在此对他们的热忱帮助表示感谢。

由于编著者水平有限,尽管做了很大努力,书中仍难免存在一些疏漏和不妥之处,望广大读者批评指正。

编著者

2023年7月

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第1章 线性方程组与矩阵 1
§1.1 线性方程组  1
§1.2 矩阵及其初等变换  4
1.2.1 矩阵的概念(4) 
1.2.2 特殊矩阵(6)
1.2.3 矩阵的初等变换(7)
§1.3 矩阵的运算及其性质 10
1.3.1 矩阵的加法和数乘(10) 
1.3.2 矩阵的乘法(12)
1.3.3 矩阵的转置与共轭(16) 
1.3.4 矩阵的逆(17)
1.3.5 矩阵的多项式(18)
§1.4 分块矩阵 20
§1.5 初等矩阵 24
习题  30
第2章 行列式  33
§2.1 二阶与三阶行列式 33
§2.2 n阶行列式的定义  35
2.2.1 排列与逆序(36) 2.2.2 排列与对换(36)
2.2.3 n 阶行列式的定义(37)
§2.3 行列式的性质 39
2.3.1 行列式的性质简介(40)
 2.3.2 “三角化”计算行列式(42)
§2.4 行列式按行(列)展开 45
2.4.1 行列式按一行(列)展开(45) 
2.4.2 “降阶法”计算行列式(49)
*2.4.3 Laplace定理(51)
§2.5 行列式的应用 52
2.5.1 方阵的行列式(52) 
2.5.2 方阵可逆的判定条件(53)
2.5.3 克拉默(Gramer)法则(55)
习题  58
第3章 向量与向量空间  61
§3.1 定义和例子 61
§3.2 线性相关和向量组的秩 67
*§3.3 线性变换 72
习题  76
Ⅱ |线性代数
第4章 线性方程组的解  79
§4.1 线性方程组解的判定 79
§4.2 线性方程组解的结构 84
*§4.3 线性方程组解的适定性 88
习题  89
第5章 正交性与最小二乘法  91
§5.1 向量的内积、长度、距离和夹角 91
§5.2 正交、正交基、正交化和正交矩阵 93
*§5.3 正交投影 97
*§5.4 最小二乘法 99
习题 100
第6章 特征值、奇异值和二次型  103
§6.1 方阵特征值  104
§6.2 相似与对角化  108
*§6.3 离散动力系统与连续动力系统  111
§6.4 对称矩阵的对角化  118
*§6.5 奇异值分解  122
§6.6 二次型  127
§6.7 二次型的标准化  128
§6.8 惯性定理和正定性  132
习题 136
*第7章 线性空间、线性赋范空间和内积空间 140
§7.1 线性空间  140
7.1.1 线性空间的定义与基本性质(140) 
7.1.2 基与维数(141)
7.1.3 子空间(143) 7.1.4 基变换与坐标变换(143)
§7.2 线性变换  145
7.2.1 线性变换的定义(145)
 7.2.2 线性变换的矩阵表示(146)
§7.3 线性赋范空间  148
§7.4 内积空间  151
7.4.1 内积及内积空间的定义(151)
 7.4.2 内积范数(153)
7.4.3 内积与正交投影及投影向量(154) 
7.4.4 施密特正交化方法(154)
习题 157
习题参考答案 159
参考文献 166
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高阳，中国石油大学，副教授，博士，以第一作者发表教改论文5篇。主持两项校级重点教改项目，五项校级一般教改项目，并参与理学院重大教改项目，负责线性代数CDIO教学改革。在职期间主要讲授线性代数、实变函数与泛函分析、Python、高等代数、高等数学、最优化、数学建模、点集拓扑等本科生课程和泛函分析、泛函分析基础两门研究生课程。其中研究生泛函分析课程评为院级品牌课。孟得新，中国石油大学，博士研究生，讲师，专业特长：应用数学。王培，中国石油大学副教授，博士研究生，专业特长：基础数学。崔学慧，博士，中国石油大学副教授，硕士研究生导师。2006年进入中国石油大学（北京）工作至今，现任理学院教学指导委员会委员，发表学术论文15篇，出版教材2部。主持横向课题10项，参与国家自然科学基金2项，主持纵向课题1项，主持全国工程数学教学指导委员会课题1项。？

本书适合作为普通高等院校线性代数课程的教材,也可作为研究生入学考试的参考书。？