本书针对普通高等师范院校本科数学专业编写，全书共分六章，包括整数及其整除性、不定方程初步、同余、同余方程、平方剩余与原根、简单连分数等内容。每一章除了配备大量的例题、习题外，还选编了许多相关阅读资料，集知识性与可读性于一体。本书叙述深入浅出，具有实用性、可读性、趣味性，适合作为普通高等师范院校本科数学专业教材，也可作为中小学数学教师及初等数论爱好者的参考书。

初等数论作为古老的数学分支，有着悠久的历史，它以整数为研究对象，主要通过整除及带余数的除法讨论整数的性质。该学科易懂难学，但因为人们对初等数论的研究对象都具有一定的常识，很多初等数论中经典的猜想、定理只要具备小学水平就能理解其含义，所以许多数学爱好者对它产生了浓厚的兴趣，但要解决数论中的问题并进行推导、证明却不是件容易的事。初等数论近年来得到了越来越广泛的应用。除作为中、小学数学竞赛的必选内容外，在国家公务员考试等各级考试中也出现了数论的题目，中学数学选修4也专门设置了初等数论选讲这一专题。为了适应这一新形势，师范院校的数学专业一般开设了初等数论课程。但该课程往往由于课时安排较少，内容又多且复杂，影响了教学效果。为了适应新形势下对初等数论课程教学的需要，编者总结多年的教学经验并参考相关数论资料，在第一版（出版于2014年2月）的基础上修订。第1章和第4章除调整内容结构外，还增加了一些例题和习题，其他章节也在例题和习题上做了一些修改和补充；另外，在教材最后增加了中国数论学家的介绍；同时，对第一版教材中存在的个别差错进行了改正。相对于第一版，本版选择的内容简单易懂且应用广泛，数量适中，增加了阅读资料和课后练习，提高了可读性。本书具有以下特点：第一，为了让更多的学生和数论爱好者都能读得懂，表述较通俗，并适当结合图形，力求深入浅出；第二，每个知识点的讲解都选取了大量的例题、习题，有竞赛试题，也有各种考试题，包括生产生活中的应用，突出了实用性；第三，增加了许多数论中的史料，使读者在阅读的过程中还能了解到相关的背景知识和有趣的数论问题，提高了教材的可读性和趣味性。本书由乐山师范学院黄学军主编，在编写过程中得到了乐山师范学院数理学院的大力支持，在此表示衷心的感谢!由于编者水平有限，书中难免会有疏漏和不足之处，敬请广大读者批评指正。

编者
2025年6月

第1章 整数及其整除性 1
§1.1 整数的排序 1
1.1.1 整数数列的排序 1
1.1.2 图形中的整数排序 4
1.1.3 数阵中的整数排序 6
§1.2 整除和带余数的除法 10
1.2.1 整除 10
1.2.2 带余数的除法 11
1.2.3 数的整除特征 12
1.2.4 奇数与偶数 14
§1.3 最大公因数和最大公因数的性质 16
1.3.1 最大公因数的概念 16
1.3.2 辗转相除法及最大公因数的性质 17
§1.4 最小公倍数及其性质、最大公因数与最小公倍数的关系 22
1.4.1 最小公倍数的概念 22
1.4.2 最小公倍数的性质 22
1.4.3 最大公因数与最小公倍数的关系 23
§1.5 素数、合数与算术基本定理 25
1.5.1 素数、合数 25
1.5.2 算术基本定理 27
1.5.3 完全平方数 28
§1.6  函数［x］及其应用 31
1.6.1 函数［x］和{x} 31
1.6.2 函数［x］的几个应用 32


第2章 不定方程初步 36
§2.1 二元一次不定方程 36
2.1.1 二元一次不定方程的定义 36
2.1.2 解二元一次不定方程 37
§2.2 n元一次不定方程和不定方程组 44
2.2.1 n元一次不定方程 44
2.2.2 一次不定方程组 45
§2.3 特殊不定方程的几种解法 47
2.3.1 整除法 47
2.3.2 余数分析法 48
2.3.3 因式分解法 48
2.3.4 不等分析法 49
2.3.5 配方法 50
2.3.6 判别式法 51
2.3.7 代换法 52
§2.4 不定方程x2+y2=z2的正整数解 53


第3章 同余 56
§3.1 同余的概念及其基本性质 56
3.1.1 同余的概念 56
3.1.2 同余的性质 56
§3.2 完全剩余系和简化剩余系 59
3.2.1 完全剩余系的定义 59
3.2.2 完全剩余系的性质 60
3.2.3 简化剩余系 60
3.2.4 简化剩余系的性质 61
§3.3 欧拉定理和费马小定理 62
3.3.1 欧拉、费马定理 62
3.3.2 欧拉定理的应用 63
3.3.3 威尔逊定理 64


第4章 同余方程 66
§4.1 一次同余方程 66
4.1.1 同余方程和同余方程的解 66
4.1.2 解一次同余方程 67
§4.2 一次同余方程组 68
§4.3 高次同余方程及其求解 71
4.3.1 高次同余方程的一般解法 71
4.3.2 特殊高次同余方程的解法 72
4.3.3 高次方程的解数与次数之间的关系 73


第5章 平方剩余与原根 75
§5.1 素数模的平方剩余和平方非剩余 75
5.1.1 平方剩余和平方非剩余 75
5.1.2 欧拉判别条件 75
§5.2 勒让德符号 77
5.2.1 勒让德符号的定义 77
5.2.2 勒让德符号的性质 77
§5.3 素数模的二次同余方程 80
§5.4 指数及其基本性质 82
5.4.1 指数及其性质 82
5.4.2 原根及其存在的条件 83
§5.5 原根的个数和求法 84


第6章 简单连分数 88
§6.1 有限连分数 88
§6.2 无限连分数 91
6.2.1 渐近分数 91
6.2.2 无限连分数与无理数 93
§6.3 连分数的应用 95
6.3.1 平方根的计算 95
6.3.2 解二元一次不定方程 96
6.3.3 解佩尔方程 96
附录 101
参考文献110

黄学军：乐山师范学院数学系主任，主要教学经历、科研经历、著作和荣誉等：1990－1994，在东北师范大学数学系学习；1994－2000，在乐山师范学校任教；2000－ ，乐山师范学院数学系主任；近年来发表核心期刊论文3篇，一般刊物论文10多篇，在研省教厅2019年度重点课题《相关系的性质及相关系上的相关映射的研究》，承担《初等数论》校级教材的编写和校级教学模式与方法改革两个校级项目。？

本书具有以下特点：

第一，为了让更多的学生和数论爱好者都能读得懂，表述较通俗，并适当结合图形，力求深入浅出；

第二，每个知识点的讲解都选取了大量的例题、习题，有竞赛试题，也有各种考试题，包括生产生活中的应用，突出了实用性；

第三，增加了许多数论中的史料，使读者在阅读的过程中还能了解到相关的背景知识和有趣的数论问题，提高了教材的可读性和趣味性。