本书根据教育部《关于全面提高高等职业教育教学质量的若干意见》精神,认真汲取近年来高等职业教育“高等数学”课程教学改革的经验和成果,结合高等职业院校学生的实际情况编写而成。

本书分为两个模块共八章,包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、数学实验、数学建模。

本书适合作为高等职业院校通识课高等数学教材,也可作为数学建模培训、数学实验课程的参考书。

近年来,随着高校招生制度改革的不断深入,高等职业院校招生形式日趋多样化,除普通高考招生外,增加了自主招生、三校生招生等招生方式,所录取的学生来自中专、中职、技校或社会,生源结构复杂。这些学生的数学基础、学习习惯、学习能力差别较大。而大多数《高等数学》教材编写并没有考虑这样的情况,不符合现在的学情,因而教学中的实际教学效果并不理想,学生也不满意。

本书根据教育部《关于全面提高高等职业教育教学质量的若干意见》精神,认真汲取近年来高等职业教育“高等数学” 课程教学改革的经验和成果,结合高等职业院校学生的实际情况编写而成。

本书编者均来自高职数学教学一线,具有丰富的教学实践经验。本书体现了“理实一体”“线上线下”“课程思政”等新的教育教学理念,以培养高素质技术技能型人才为目标,将传统纸质教材与声音、视频、动画模拟等数字化资源有机结合,形成了融信息技术于一体的立体化教材。

本书分为两个模块共八章,包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分及其应用、数学实验、数学建模,适合作为高等职业院校通识课高等数学教材,也可作为数学建模培训、数学实验课程的参考书。

本书具有以下特色:

(1)注重思政育人,筑牢育人根基。为落实立德树人根本任务,充分发挥课程思政的育人功能,每章都选取了数学文化等内容,潜移默化实现课程思政。

(2)结构模块化,理实一体。本书包括两个模块:一是通识模块,内容为一元函数微积分;二是拓展模块,内容为数学实验与数学建模。拓展模块将MATLAB 软件应用于一元微积分,设计相应的数学实验,注重数学工具软件的使用和“ 用数学”的理念,“理实一体”,既提高学生“用数学” 解决实际问题的能力,又培养学生的创新意识和创新能力。

(3)立足于实践与应用,注意培养学生的基本运算能力、分析问题和解决问题的能力。在内容编排上,充分考虑到不同专业的需求,注意与专业课的衔接;在课程结构上,既体现了数学概念的准确性和完整性,又不过分追求理论的严谨性,略去了大多数定理的证明,只对少数重要定理加以证明。对一些概念、定理,尽量采取学生容易理解的方式进行叙述,在引入概念时,注重理论与实例相结合,尽量按照“实例—理论—实践” 的认识过程编写,做到由特殊到一般,再由一般到特殊,力求通俗易懂、深入浅出、循序渐进。书中标注？的章节为选学内容。

(4)例题丰富,习题及思考创新分层设计。本书不仅在正文中穿插有精选的例题,帮助学生及时理解相关的数学概念,也在每节后配有基础层次和提高层次的习题,以帮助学生进一步掌握知识。其中基础题专门针对在高职学生中约占10% ~30% 的数学基础薄弱的学生设计,以提高他们的学习兴趣,帮助他们达到最基本的学习要求;每章的末尾还配有复习题。此外,书后附有习题参考答案,以利于学生自行检查学习成果。本书还设置了“想一想”“试一试”等,以拓展学生的思路。

(5)教学资源丰富,提供优质服务。本书一元函数微积分相应知识点配有二维码,打造立体化的学习空间,学生可以通过扫一扫的方式观看相应微课视频。本书配套智慧课程已上线学银在线平台,适用线上、线下混合分层式教学。此外,本书还配备传统教学资源,如课件、习题库、习题参考答案等,全方位满足学生学习需求和教师教学设计。

本书由肖敏、文源、毛素芹担任主编,肖连传、高金、侯俊龙担任副主编,梁仕军参与编写。本书统稿定稿及配套视频和教学课件制作工作由肖敏完成。具体的编写分工如下:第1、2 章由毛素芹编写,第3、4 章由文源编写,第5 章由高金编写,第6 章由肖连传编写,第7、8 章由侯俊龙编写,教材配套课后作业及详解由梁仕军编写。

本书在编写过程中参考了大量相关资料,在此向其作者表示衷心的感谢。由于编者水平有限,书中难免存在疏漏和不妥之处,欢迎广大读者不吝赐教,提出宝贵意见,以便我们进行修订和完善。

编 者

2025 年2 月

通识模块 一元函数微积分
  第1 章  函数  002
  思维导图 002
  学习目标 002
  § 1. 1  函数及其性质  003
1. 1. 1  区间 003
1. 1. 2  函数的定义 004
1. 1. 3  函数的表示法 006
1. 1. 4  反函数 008
1. 1. 5  函数的基本性质 008
能力测试1. 1  011
  § 1. 2  初等函数概述  012
1. 2. 1  基本初等函数 012
1. 2. 2  复合函数 016
1. 2. 3  初等函数 017
1. 2. 4  由方程所确定的函数 017
能力测试1. 2  019
  本章小结 019
  复习题1  020
  数学文化 022
  第2 章  极限与连续  023
  思维导图 023
  学习目标 023
  § 2. 1  极限  024
2. 1. 1  数列的极限 024
2. 1. 2  函数的极限 026
能力测试2. 1  030
  § 2. 2  极限的运算  031
2. 2. 1  极限的运算法则 031
2. 2. 2  利用运算法则求极限 031
2. 2. 3  两种特殊类型极限的求法 032
能力测试2. 2  033
Ⅰ
  § 2. 3  两个重要极限  034
2. 3. 1  第一重要极限 034
2. 3. 2  第二重要极限 036
能力测试2. 3  038
  § 2. 4  无穷大量和无穷小量  040
2. 4. 1  无穷大量 040
2. 4. 2  无穷小量 040
2. 4. 3  无穷小与无穷大的关系 041
2. 4. 4  无穷小的比较 042
？2. 4. 5  无穷小的替换 043
能力测试2. 4  045
  § 2. 5  函数的连续性  045
2. 5. 1  函数连续性的定义 046
2. 5. 2  函数的间断点及其分类 047
2. 5. 3  初等函数的连续性 048
2. 5. 4  利用函数的连续性求极限 049
2. 5. 5  闭区间上连续函数的性质 049
能力测试2. 5  051
  本章小结 051
  复习题2  052
  数学文化 054
  第3 章  导数与微分  055
  思维导图 055
  学习目标 056
  § 3. 1  导数的概念  056
3. 1. 1  两个引例 056
3. 1. 2  导数的定义 059
3. 1. 3  利用导数定义求导数 060
3. 1. 4  导数的几何意义 062
3. 1. 5  函数的可导性与连续性的关系 063
能力测试3. 1  063
  § 3. 2  函数求导法则与反函数导数  064
3. 2. 1  函数的四则求导法则 064
3. 2. 2  反函数的导数 065
能力测试3. 2  066
  § 3. 3  复合函数导数和初等函数求导  067
3. 3. 1  复合函数导数 067
3. 3. 2  初等函数求导 068
能力测试3. 3  070
  § 3. 4  三种特殊的求导方法和高阶导数  071
3. 4. 1  隐函数求导 071
3. 4. 2  对数求导法 072
3. 4. 3  参数方程求导 073
3. 4. 4  高阶导数 074
能力测试3. 4  075
  § 3. 5  函数的微分  076
3. 5. 1  微分的概念 076
3. 5. 2  微分的几何意义 078
3. 5. 3  微分的计算 079
？3. 5. 4  微分在近似计算中的应用 082
能力测试3. 5  084
  本章小结 085
  复习题3  085
  数学文化 087
  第4 章  导数的应用  089
  思维导图 089
  学习目标 089
  § 4. 1  洛必达法则  090
4. 1. 1 00
型未定式 090
4. 1. 2 ∞∞
型未定式 091
4. 1. 3  其他类型未定式 093
能力测试4. 1  095
  ？§ 4. 2  中值定理  095
4. 2. 1  罗尔定理 095
4. 2. 2  拉格朗日中值定理 096
4. 2. 3  柯西中值定理 097
能力测试4. 2  098
  § 4. 3  函数的单调性和极值  099
4. 3. 1  函数的单调性 099
4. 3. 2  函数的极值 101
能力测试4. 3  104
  § 4. 4  函数的最值  105
4. 4. 1  闭区间上连续函数的最值 105
4. 4. 2  开区间上连续函数的最值 106
4. 4. 3  最值在实际问题中的应用 107
能力测试4. 4  108
  § 4. 5  曲线的凹凸性和函数图形的描绘  109
4. 5. 1  曲线的凹凸性 109
4. 5. 2  函数图形的描绘 112
能力测试4. 5  117
  本章小结 118
  复习题4  118
  数学文化 120
  第5 章  不定积分  122
  思维导图 122
  学习目标 122
  § 5. 1  不定积分的概念  123
5. 1. 1  原函数 123
5. 1. 2  不定积分的定义 124
5. 1. 3  不定积分的几何意义 126
5. 1. 4  不定积分的基本公式 126
5. 1. 5  不定积分的性质 127
能力测试5. 1  128
  § 5. 2  不定积分的计算  128
5. 2. 1  直接积分法 128
能力测试5. 2  131
5. 2. 2  第一类换元积分法(凑微分法)  131
能力测试5. 3  135
5. 2. 3  第二类换元积分法 136
能力测试5. 4  139
5. 2. 4  分部积分法 140
能力测试5. 5  142
  ？§ 5. 3  简易积分表的使用  143
  本章小结 145
  复习题5  145
  数学文化 147
  第6 章  定积分及其应用  149
  思维导图 149
  学习目标 149
  § 6. 1  定积分的概念与性质  150
6. 1. 1  两个引例 150
6. 1. 2  定积分的定义 153
6. 1. 3  定积分的几何意义 154
6. 1. 4  定积分的性质 156
能力测试6. 1  159
  § 6. 2  微积分基本定理概述  160
6. 2. 1  积分上限函数及其导数 161
6. 2. 2  微积分基本定理 162
能力测试6. 2  163
  § 6. 3  定积分的积分法  164
6. 3. 1  定积分的第一类换元积分法 164
6. 3. 2  定积分的第二类换元积分法 165
能力测试6. 3  167
6. 3. 3  定积分的分部积分法 168
能力测试6. 4  170
  ？§ 6. 4  广义积分  170
能力测试6. 5  173
  § 6. 5  定积分在几何上的应用  173
6. 5. 1  微元法 173
6. 5. 2  定积分求平面图形的面积 174
6. 5. 3  定积分求旋转体的体积 179
能力测试6. 6  183
  本章小结 184
  复习题6  185
  数学文化 187
拓展模块 数学实验与数学建模
  第7 章  数学实验  190
  § 7. 1  MATLAB 简介  190
7. 1. 1  MATLAB 的特点 190
7. 1. 2  MATLAB 的应用领域 191
7. 1. 3  MATLAB 常用运算符 191
  § 7. 2  数学实验  192
7. 2. 1  实验1  数值计算及函数图形绘制  192
7. 2. 2  实验2  极限计算  196
7. 2. 3  实验3  导数计算  198
7. 2. 4  实验4  极值计算  200
7. 2. 5  实验5  不定积分计算  200
7. 2. 6  实验6  定积分计算  202
  § 7. 3  数学实验实训  204
  第8 章  数学建模  206
  § 8. 1  数学建模过程  206
  § 8. 2  数学建模举例:城市交通流量的优化问题 208
  § 8. 3  中国大学生数学建模竞赛  217
  附  录  220
  附录 A  初等数学常用公式 220
  附录 B  基本初等函数的定义域、值域和特性  224
  附录 C  简易积分表 228
  附录 D  参考答案 231

肖敏，云南交通职业技术学院。 文源，云南交通职业技术学院。毛素芹，云南交通职业技术学院。

本书聚焦常用AI 工具，包含详细操作指南与丰富真实案例，着重突出“实践优先”理念；形式上采用灵活的活页设计，可根据学习实际按需调整，还配套有数字化资源，实现纸电联动的学习效果；同时，兼顾AI 伦理与安全方面的知识传递。本书特色显著，可助力零基础学习者扎实掌握AI 知识与技能，有效满足不同学习需求，进而提升学习者的岗位竞争力，培养跨领域复合型人才。